Методы геометрических преобразований

Методы этой группы имеют достаточно много общего. Каждый изучается, как правило, при рассмотрении соответствующего преобразования, при этом решаемые задачи служат для закрепления и более глубокого усвоения изучаемого понятия. Для повышения эффективности обучения необходимо, чтобы, кроме первоначальных представлений о самом преобразовании, учащиеся умели выполнять построение образов фигур при этом преобразовании, так как использование образа искомой фигуры при построении есть основа каждого из этих методов, их основная идея и суть.

Если искомую фигуру сразу построить затруднительно, то ее преобразуют в какую-нибудь другую фигуру, построение которой можно сделать легче или непосредственно.

При изучении этих методов целесообразно выделить наиболее характерные признаки с тем, чтобы в будущем, анализируя задачу, ученик мог выбрать соответствующий метод.

Действующая программа по геометрии не предполагает использовать идею геометрических преобразований в качестве руководящей идеи школьного курса геометрии, хотя использование геометрических преобразований при решении задач на построение имеет большое методическое значение.

Симметрией относительно точки О (центральной симметрией) Z0 пространства называется преобразование пространства, которое точку О отображает на себя, а любую другую точку М отображает на такую точку М1, что точка О является серединой отрезка ММ1.

Данный метод применим к тем задачам, в условии которых в той или иной форме указана точка, являющаяся центром симметрии искомой или вспомогательной фигуры.

Рассмотрим задачу: “Через данную точку А провести прямую так, чтобы ее отрезок с концами на данных прямой и окружности делился точкой пополам”.

Решение. Пусть m и α — данные прямая и окружность, CD —искомый отрезок, Сm, Dа (рис. 3). Тогда ZA(C) = D. Если ZA(m) = m1, то Dm1 и, следовательно, Dаm1. Отсюда вытекает такое построение: строим образ m1 прямой m при симметрии ZA, точки D и Е пересечения прямой m1 с данной окружностью α определяют вместе с точкой А искомые прямые DA и ЕА [20].

Рис. 3

Симметрией пространства относительно данной прямой l (осевой симметрией) Sl называется преобразование, которое каждую точку прямой l отображает на себя, а любую другую точку М пространства отображает на такую точку М1, что прямая l служит серединным перпендикуляром к отрезку ММ1. Прямая l называется осью симметрии.

Трудно указать общие признаки задач, решаемых методом осевой симметрии. В более сложных задачах метод осевой симметрии, нередко спрямляющий ломаные линии в прямые, может быть применим, если в условиях содержится сумма или разность частей некоторой ломаной линии. Можно ограничится указанием, что метод осевой симметрии применим для задач, в условии которых указана прямая, являющаяся осью симметрии части элементов фигуры. Такую прямую легко установить по свойствам фигур. Применение осевой симметрии целесообразно для задач, которые легко решаются, если часть данных расположена по одну сторону некоторой прямой, а остальные – по другую.

Рис. 4

Рассмотрим задачу: “Построить ромб так, чтобы одна из его диагоналей была равна данному отрезку r и лежала на данной прямой а, а остальные две вершины ромба лежали соответственно на данных прямых b и с”.

Анализ. Пусть (рис.4) ABDC — искомый ромб, AD = r. Замечаем, что задача о построении ромба сводится к построению одной какой-либо из его вершин, например вершины С. По свойствам ромба точки В и С симметричны относительно прямой а. Поэтому при осевой симметрии относительно прямой а точка В преобразуется в точку С, а, следовательно, прямая b — в некоторую прямую b', проходящую через точку С. Таким образом, точка С может быть построена как точка пересечения прямых с и b', из которых одна дана, а другая легко строится.

Статьи по теме:

Возможности и пути использования дифференциации в учебном процессе
В настоящее время появились различные учебные заведения нового типа (гимназии, лицеи, колледжи и.т.д.), в организации работы которых реализуется внешняя дифференциация. В таких образовательных учрежд ...

Придание процессу обучения эмоционально-волевого характера
Термин эмоциональность происходит от латинского emovere и французского emotion, что значит возбуждать, волновать. Следовательно, эмоциональность обучения означает такой характер организации учебной р ...

Логическое мышление: основные понятия. Анализ психолого-педагогической литературы
Существуют различные подходы к понятию “мышление”. Приведем некоторые из них. Мышление – высшая форма активного отражения объективной реальности, состоящая в целенаправленном, опосредованном и обобще ...

Навигация

• Главная
• Тенденции современной педагогики
• Спортивно-педагогическая деятельность
• Социализация подростка
• Стандартизация в системе образования
• Связь педагогики с другими науками
• Профессиональное обучение
• Статьи о педагогике